Uma forma de 13 lados conhecida como “o chapéu” faz com que os matemáticos deem gorjetas.
É o primeiro exemplo verdadeiro de um “einstein”, uma forma única que forma um ladrilho especial de um plano: como o ladrilho do banheiro, ele pode cobrir uma superfície inteira sem lacunas ou sobreposições, mas apenas com um padrão que nunca se repete.
“Todo mundo está surpreso e encantado, ao mesmo tempo”, diz a matemática Marjorie Senechal, do Smith College, em Northampton, Massachusetts, que não participou da descoberta. Os matemáticos estavam procurando por tal forma por meio século. “Nem estava claro que tal coisa pudesse existir”, diz Senechal.
Embora o nome “einstein” evoque o físico icônico, ele vem do alemão ein Stein, que significa “uma pedra”, referindo-se ao ladrilho único. O einstein fica em um estranho purgatório entre a ordem e a desordem. Embora os ladrilhos se encaixem perfeitamente e possam cobrir um plano infinito, eles são aperiódicos, o que significa que não podem formar um padrão que se repita.
Com um padrão periódico, é possível deslocar as peças e combiná-las perfeitamente com a disposição anterior. Um tabuleiro de damas infinito, por exemplo, parece exatamente o mesmo se você deslizar as linhas em dois. Embora seja possível organizar outras peças individuais em padrões que não sejam periódicos, o chapéu é especial porque não há como criar um padrão periódico.
Identificado por David Smith, um matemático não profissional que se descreve como um “criador criativo de formas”, e relatado em um artigo publicado online em 20 de março em arXiv.org, o chapéu é um polykite – um monte de formas menores de pipa grudadas. Esse é um tipo de forma que não foi estudado de perto na busca por einsteins, diz Chaim Goodman-Strauss, do Museu Nacional de Matemática da cidade de Nova York, um de um grupo de matemáticos treinados e cientistas da computação com quem Smith se uniu para estudar o chapéu.
É um polígono surpreendentemente simples. Antes deste trabalho, se você perguntasse como seria um einstein, Goodman-Strauss diz: “Eu teria desenhado alguma coisa maluca, ondulada e nojenta”.
Os matemáticos já conheciam ladrilhos não repetidos que envolviam ladrilhos múltiplos de formatos diferentes. Na década de 1970, o matemático Roger Penrose descobriu que apenas duas formas diferentes formavam um ladrilho que não é periódico (SN: 01/03/07). A partir daí, “Era natural imaginar, poderia haver um único ladrilho que fizesse isso?” diz o matemático Casey Mann, da Universidade de Washington Bothell, que não participou da pesquisa. Esse finalmente foi encontrado, “é enorme”.
Outras formas chegaram perto. Os ladrilhos Taylor-Socolar são aperiódicos, mas são uma mistura de várias peças desconectadas – não o que a maioria das pessoas pensa como um único ladrilho. “Esta é a primeira solução sem asteriscos”, diz o matemático Michaël Rao, do CNRS e da École Normale Supérieure de Lyon, na França.
Smith e seus colegas provaram que o ladrilho era um einstein de duas maneiras. Uma veio ao perceber que os chapéus se organizam em aglomerados maiores, chamados metáteis. Esses metatiles então se organizam em supertiles ainda maiores, e assim por diante indefinidamente, em um tipo de estrutura hierárquica que é comum para ladrilhos que não são periódicos. Essa abordagem revelou que o ladrilho do chapéu poderia preencher todo um plano infinito e que seu padrão não se repetiria.
A segunda prova baseou-se no fato de que o chapéu faz parte de um continuum de formas: alterando gradualmente os comprimentos relativos dos lados do chapéu, os matemáticos foram capazes de formar uma família de ladrilhos que podem assumir o mesmo padrão não repetitivo. Ao considerar os tamanhos e formas relativos dos ladrilhos nos extremos dessa família – um em forma de divisa e outro reminiscente de um cometa – a equipe conseguiu mostrar que o chapéu não podia ser organizado em um padrão periódico.
Embora o artigo ainda não tenha sido revisado por pares, os especialistas entrevistados para este artigo concordam que o resultado provavelmente resistirá a um exame minucioso.
Padrões não repetitivos podem ter conexões com o mundo real. O cientista de materiais Dan Shechtman ganhou o Prêmio Nobel de Química em 2011 por sua descoberta de quasicristais, materiais com átomos dispostos em uma estrutura ordenada que nunca se repete, muitas vezes descritos como análogos aos ladrilhos de Penrose (SN: 5/10/11). O novo ladrilho aperiódico pode desencadear mais investigações na ciência dos materiais, diz Senechal.
Ladrilhos semelhantes inspiraram artistas, e o chapéu parece não ser exceção. O ladrilho já foi reproduzido artisticamente como tartarugas sorridentes e um confusão de camisas e chapéus. Presumivelmente, é apenas uma questão de tempo até que alguém coloque telhas de chapéu em um chapéu.
E o chapéu não é o fim. Os pesquisadores devem continuar a busca por einsteins adicionais, diz o cientista da computação Craig Kaplan, da Universidade de Waterloo, no Canadá, coautor do estudo. “Agora que abrimos a porta, esperamos que outras novas formas apareçam.”
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